?

Log in

No account? Create an account

Фракталы

«Если долго всматриваться в бездну — бездна начнёт всматриваться в тебя» © Ницше

Previous Entry Share Next Entry
Фрактал Герасимова. Фракталы в простых числах.
xcontcom


Я обнаружил этот фрактал, когда разглядывал интерференцию волн на поверхности речки. Волна движется к берегу, отражается и накладывается сама на себя. Есть ли порядок в тех узорах, которые создаются волнами? Попробуем найти его. Рассмотрим не всю волну, а только вектор ее движения. "Берега" сделаем гладкими, для простоты эксперимента.

Эксперимент можно провести на обычном листке в клеточку из школьной тетради.

Или используя JavaScript реализацию алгоритма



Английская версия: New kind of fractals - Fractals in relatively prime integers (coprime integers)

Возьмем прямоугольник со сторонами q и p. Отправить луч (вектор) из угла в угол. Луч двигается к одной из сторон прямоугольника, отражается и продолжает движение к следующей стороне. Это продолжается до тех пор, пока луч не попадет в один из оставшихся углов. Если размер стороны q и p - взаимно просты числа, то получается узор (как мы увидим позже - фрактал).

На картинке мы ясно видим, как работает этот алгоритм.



Gif-анимация:





Самое удивительное то, что с разными сторонами прямоугольника - получаем разные узоры.






Почему я называю эти узоры фракталами? Как известно, "фрактал" - это геометрическая фигура, обладающая свойствами самоподобия. Часть картинки повторяет всю картинку в целом. Если значительно увеличить размеры сторон Q и P - ясно, что эти узоры обладают свойствами самоподобия.

Попробуем увеличить. Увеличивать будем хитрым способом. Возьмем, например, узор 17x29. Следующие узоры будут: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75) ...
Одна сторона: (n);
Вторая сторона: (n+1)=(n)+(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Как числа Фибоначчи, только с другими первым и вторым членом последовательности: F(0)=17, F(1)=29.



















Дальше фракталы циклически повторяются.

Если большая сторона четная, получается такой узор:



Если меньшая сторона четная:



Если обе стороны нечетные - получаем симметрически узор:





В зависимости от того, как начинается луч:

или


Попробую объяснить, что происходит в этих прямоугольниках.

Отделим от прямоугольника квадрат, и посмотрим, что происходит на границе.



Луч выходит в той-же точке, откуда зашел.



При этом, количество квадратиков, которые проходит луч - всегда четное число.

Поэтому, если отрезать от прямоугольника квадрат - останется не измененная часть фрактала.

Если отделять от фрактала квадраты столько раз, сколько это возможно - можно добраться до "начала" фрактала.



Похоже на спираль Фибоначчи?



Из чисел Фибоначчи тоже можно получить фракталы.

В математике числами Фибоначчи (ряд Фибоначчи, последовательность Фибоначчи) называют числа:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 ...
По определению, первые две цифры в последовательности Фибоначчи 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1



Поехали:




Как мы видим, чем ближе отношение сторон приближается к золотому сечению - тем больше детализация фрактала.



При этом фрактал повторяет часть фрактала, увеличенного на .

Вместо чисел Фибоначчи можно использовать иррациональные размеры сторон:



Получим тот-же фрактал.

Те-же фракталы можно получить в квадрате, если пускать луч под другим углом:



Что можно сказать в заключении?
Хаос - это тоже порядок. Со своими закономерностями. Порядок этот не изученный, но вполне поддающийся изучению. А все стремление науки - обнаружить эти закономерности. И в конечном итоге соединить детали головоломки, чтобы увидеть общую картину.
Давайте посмотрим на поверхность речки. Если бросить в нее камень - пойдут волны. Круги, вполне поддающиеся изучению. Скорость, период, длину волны - все это можно подсчитать. Но до тех пор, пока волна не дойдет до берега, не отразиться и не начнет накладываться на саму себя. Получим хаос (интерференцию), который уже трудно поддается изучению.
Что если двигаться от обратного? Упростить поведение волны на столько, на сколько это возможно. Упростить, найти закономерность и после этого попробовать описать уже полную картину происходящего.
Что можно упростить? Очевидно, что сделать отражающую поверхность прямой, без изгибов. Далее, вместо самой волны, использовать только вектор движения волны. В принципе, этого достаточно, чтобы построить простой алгоритм и смоделировать процесс на компьютере. И даже вполне достаточно, чтобы сделать "модель" поведения волны на обычном листке в клеточку.
Что имеем в результате? В результате видим, что в волновых процессах (та-же рябь на поверхности речки) имеем не хаос, а наложение фракталов (самоподобных структур) друг на друга.

Рассмотрим другой вид волн. Как известно, электромагнитная волна состоит из трех векторов - волновой вектор и вектора напряженности электрического и магнитного поля. Как видим, если "словить" такую волну в замкнутой области – там, где пересекаются эти вектора, получаем вполне четкие замкнутые структуры. Быть может, элементарные частици – это такие-же фракталы?



Все фрактальчики в прямоугольниках от 1 до 80:


Замкнутые области во фракталах:


Просто красивый фрактал:


Оригинал: Пару слов об Интерференции волн.
Статья на хабре: Фрактал Герасимова.


замечательная информация
для меня всё, связанное с золотым сечением и рядом Фибоначи обладает какой то странно притягательной силой

DSC_9647

Когда-то визуализируя числовые ряды путем несложных алгоритмов, мы с помощью ряда Фибоначчи и самоподобных чисел получали различные текстуры песка и водной глади. Прямо как на этой картинке!

Очень интересная информация. Спасибо. Я тоже напишу о фракталах клеток человека и клинических аттракторах

Я тоже могу говорить об этом постоянно. Но не говорю, так как многие не понимают и даже начинают оскорблять.

Прочитал о Вас. Очень приятно познакомиться с таким человеком. Я профессор офтальмолог Гаджиев Расим из Баку. Автор системы HAT (Human Attractor Treatment) Medicine.

зеленый более спокойный чем красный.

Я буддист, если чё.

тебе на форексе бабосы бы рубить бы, мой новый френd!

Снимаю шляпу.

Мало что поняла, но впечатляет!

Эти фракталы наши прабабки еще знали. Вышивали их крестиком.

Я не физик, так что если чего не понял, простите. Но почему на рисунке луч пульсирует? Ведь если он не пульсирует, то никаких фракталов не будет. А если какой-то луч поглотится то тоже ничего хорошего не выйдет. Или я несу чушь?

Что такое "свет" (радиация, рентгеновские излучения, радиоволны и т.д.) с точки зрения физики?
Квантовая физика рассматривают эти излучения, как поток квантов

Волновая оптика - как электромагнитную волну:


Собственно, в моих фракталах, расстояния между двумя черточками - частота этих колебаний (или расстояние между двумя квантами).

А по поводу поглощения - его и вовсе нет. Свет не поглощается, а переходит в другую форму. Впрочем, это пока только догадки.

как нереально сложно...
хотя, для математиков, наверное не очень))

На полотенце , русское-народное похоже. А так , большую работу проделали. Уважаю.

Года полтора назад, после медитации вошел в транс и получил поток трехмерных фракталов.
Это было настолько удивительно, непостижимо и нереально. Я видел ветку фракталов, каждый росток которой развивался самостоятельно и индивидуально, и в то же время подчиняясь золотой пропорции. И этот поток проходил через меня!
Не знаю сколько времени это происходило, пока меня не вывел из транса плачущий ребенок.
А к вечеру свалился с температурой, проболел месяц, еле оклемался.
До сих пор перед глазами стоит это дерево.
Я занимаюсь 3d графикой уже 20 лет, пробовал что-то повторить, но получил лишь жалкое подобие.
Да и комп не потянул. То что вы делаете, очень очень важно, не знаю почему, чувствую.
Мне хочется еще раз попробовать, но страшно, оправдываю себя: пока дети подрастут, потом начну...)
Давайте дружить, и продолжайте, пожалуйста, с благодарностью.
С уважением, Lo.